Lo Mejor de MathNerds - El Desafío de la Integral

Sugerencia 2

Sea I = \int_0^{\pi/2} \ln (\sin \theta) \, d\theta. Usando Sugerencia 1, tenemos

\begin{eqnarray} I &=& \int_0^{\pi/2} \ln \left( 2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \right) \, d\theta \\ &=& \int_0^{\pi/2} \ln 2 \, d\theta + \int_0^{\pi/2} \ln \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \, d\theta + \int_0^{\pi/2} \ln \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) \, d\theta. \end{eqnarray}

Ahora haga la sustitución \phi = \theta/2.

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El Resto de la Respuesta

Haga la sustitución \alpha = \pi/2 - \phi en la integral con \cos \phi. Obtenemos:

\int_0^{\pi/4} \ln (\cos \phi) \, d\phi = -\int_{\pi/2}^{\pi/4} \ln (\sin \alpha) \, d\alpha = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln (\sin \alpha) \, d\alpha

Así la ecuación (*) arriba se convierte en

\begin{eqnarray} I &=& \frac{\pi}{2} \ln 2 + 2\int_0^{\pi/4} \ln (\sin \phi) \, d\phi + 2\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln (\sin \alpha) \, d\alpha \\ &=& \frac{\pi}{2} \ln 2 + 2\int_0^{\pi/2} \ln (\sin \alpha) \, d\alpha \\ &=& \frac{\pi}{2} \ln 2 + 2I. \end{eqnarray}

Resolviendo por I, obtenemos

I = -\frac{\pi}{2} \ln 2.

Autosimilaridad

Notas por Allen Stenger

Este método funciona porque hay una estructura recursiva a la función. Es más fácil ver esta estructura si usted trabaja en el intervalo [0, \pi]: porque la función es simétrica respecto a \theta = \pi/2, la integral en este intervalo mayor es el doble de la integral [0, \pi/2], así que es realmente el mismo problema que antes. Usando las identidades del ángulo medio como arriba, escribimos

\ln (\sin \theta) = \ln 2 + \ln \left( \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \right) + \ln \left( \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) \right) .

Esto expresa la función dada en términos de dos copias de sí mismo, una estirada y una traslada: \ln ( \sin (\theta/2) ) en el intervalo [0, \pi] es una copia estirado de la curva original en el intervalo [0, \pi/2], y \ln ( \sin (\pi/2 - \theta/2) ) es una copia reflejada de esta curva estirada. Los grafos de los tres curvas se muestran aquí:

grafo de logaritmo seno parte 1

grafo de logaritmo seno parte 2

grafo de logaritmo seno parte 3

En lenguaje geométrica, las tres curvas son similares, y porque una curva es compuesta por las otras (plus un término constante), decimos que es autosimilar.

Por integrar la recursión sobre [0, \pi] obtenemos una fórmula explícita para I, es decir

2I = \pi \ln 2 + 2I + 2I

(el primero 2I viene de la simetría sobre el intervalo [0, \pi] y el segundo y tercero 2I viene porque las funciones son estirado por un factor de dos y por esto tienen la área doble). Esta fórmula implícita es fácil resolver, dando

I = -\frac{\pi}{2} \ln 2

como antes.

La idea de recursividad es muy importante en muchas áreas de las matemáticas, y esta forma particular que se llama autosimilaridad es importante en fractales. Puede leer más sobre las integrales, los fractales y la autosimilaridad en la Referencia de Strichartz.

Referencia: (en inglés) Robert S. Strichartz, "Evaluating Integrals Using Self-Similarity". American Mathematical Monthly, volume 107 number 4 (April 2000), pp. 316-326.

El Desafío de la Integral

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